Scheme【1】 语言实战：矩阵【2】求逆与行列式【3】计算库实现
Scheme 语言是一种函数式编程【4】语言，以其简洁、优雅和强大的表达能力而著称。在数学和科学计算领域，矩阵运算是一个基础且重要的部分。本文将围绕 Scheme 语言，实现一个矩阵求逆与行列式计算的库。我们将从矩阵的基本操作开始，逐步深入到逆矩阵【5】和行列式的计算。
矩阵基础操作
在 Scheme 中，我们可以使用列表来表示矩阵。每个子列表代表矩阵的一行，其中的元素为矩阵的列。
创建矩阵
scheme
(define (create-matrix rows cols elements)
(let ((matrix (make-vector rows)))
(for ((i 0 (+ i 1)))
(vector-set! matrix i (list->vector (sublist elements i cols))))
matrix))
矩阵转置【6】
scheme
(define (transpose matrix)
(let ((rows (vector-length matrix))
(cols (vector-length (vector-ref matrix 0))))
(make-vector cols
(lambda (j)
(let ((row (vector-ref matrix j)))
(make-vector rows
(lambda (i)
(vector-ref row i))))))))
矩阵加法【7】
scheme
(define (matrix-add matrix1 matrix2)
(if (and (= (vector-length matrix1) (vector-length matrix2))
(= (vector-length (vector-ref matrix1 0)) (vector-length (vector-ref matrix2 0))))
(let ((rows (vector-length matrix1))
(cols (vector-length (vector-ref matrix1 0))))
(make-vector rows
(lambda (i)
(let ((row1 (vector-ref matrix1 i))
(row2 (vector-ref matrix2 i)))
(make-vector cols
(lambda (j)
(+ (vector-ref row1 j) (vector-ref row2 j))))))))
(error "Matrices dimensions do not match for addition.")))
行列式计算
行列式是矩阵的一个重要属性，它可以帮助我们判断矩阵是否可逆。以下是计算行列式的函数：
计算行列式
scheme
(define (determinant matrix)
(let ((rows (vector-length matrix))
(cols (vector-length (vector-ref matrix 0))))
(if (= rows cols)
(cond
((= rows 1) (vector-ref (vector-ref matrix 0) 0))
((= rows 2) ( (vector-ref (vector-ref matrix 0) 0) (vector-ref (vector-ref matrix 1) 1) -1))
(else
(let ((sum 0)
(submatrix (make-vector (sub1 rows))))
(for ((i 0 (+ i 1)))
(let ((row (vector-ref matrix i)))
(for ((j 0 (+ j 1)))
(when (not (= j i))
(let ((submatrix-row (vector-ref submatrix j)))
(vector-set! submatrix-row (sub1 (vector-length submatrix-row))
(vector-ref row j))
(set! sum (+ sum ( (expt -1 (+ i j)) (determinant submatrix-row))))))))
sum)))
(error "Matrix is not square."))))
矩阵求逆
矩阵求逆是线性代数【8】中的一个重要问题。如果矩阵是可逆的，那么它的逆矩阵可以通过以下公式计算：
A^(-1) = 1/det(A) adj(A)
其中，`det(A)` 是矩阵 A 的行列式，`adj(A)` 是矩阵 A 的伴随矩阵【9】。
计算伴随矩阵
scheme
(define (cofactor matrix i j)
(let ((submatrix (submatrix matrix i j)))
(if (= (vector-length submatrix) 1)
(vector-ref (vector-ref submatrix 0) 0)
(let ((sum 0)
(submatrix-rows (vector-length submatrix)))
(for ((k 0 (+ k 1)))
(set! sum (+ sum ( (expt -1 (+ i k)) (determinant submatrix k)))))
sum))))
计算逆矩阵
scheme
(define (inverse matrix)
(let ((det (determinant matrix)))
(if (not (= det 0))
(let ((adj (make-vector (vector-length matrix)
(lambda (i)
(make-vector (vector-length matrix)
(lambda (j)
(cofactor matrix i j)))))))
(let ((adj-transpose (transpose adj)))
(scale adj-transpose (/ 1 det))))
(error "Matrix is not invertible."))))
总结
本文介绍了如何使用 Scheme 语言实现矩阵求逆与行列式计算。我们首先定义了矩阵的基本操作，包括创建矩阵、转置和矩阵加法。然后，我们实现了行列式和伴随矩阵的计算，最后通过这些计算得到了矩阵的逆。
通过本文的学习，我们可以更好地理解矩阵运算在 Scheme 语言中的实现，并能够将其应用于实际问题中。希望这篇文章能够帮助你更好地掌握 Scheme 语言在数学计算【10】领域的应用。
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