并查集【1】：路径压缩【2】与按秩合并【3】的实现与优化
并查集（Union-Find）是一种数据结构，用于处理一些不交集的合并及查询问题。它支持两种操作：查找【5】（Find）和合并（Union）。在计算机科学中，并查集广泛应用于数据压缩、网络连接、动态连通性检测等领域。本文将围绕Scheme语言【6】实现路径压缩和按秩合并的并查集，探讨其原理、实现以及优化。
并查集的基本原理
并查集由一系列集合【7】构成，每个集合包含若干元素【8】。并查集的主要操作包括：
1. 查找（Find）：确定某个元素所属的集合。
2. 合并（Union）：将两个集合合并为一个集合。
在并查集中，每个元素都有一个唯一的标识符，称为“根节点【9】”。如果一个元素不是某个集合的根节点，那么它的父节点就是它所属集合的根节点。通过不断向上查找，可以找到该元素的根节点。
路径压缩
路径压缩是一种优化并查集的方法，其目的是减少查找操作的时间复杂度【10】。在路径压缩中，每次查找操作时，将所有节点直接压缩到根节点，从而减少后续查找操作的路径长度。
以下是路径压缩的伪代码【11】：
scheme
(define (find-set x)
(if (eq? x (parent x))
x
(set! (parent x) (find-set (parent x)))
)
)
在上述代码中，`find-set` 函数用于查找元素 `x` 的根节点。如果 `x` 是根节点，则直接返回 `x`；否则，递归调用 `find-set` 函数查找 `x` 的父节点的根节点，并将 `x` 的父节点设置为根节点。
按秩合并【4】
按秩合并是一种优化并查集的方法，其目的是减少合并操作的时间复杂度。在按秩合并中，将元素按照其所属集合的大小进行排序，每次合并操作时，总是将秩较小的集合合并到秩较大的集合中。
以下是按秩合并的伪代码：
scheme
(define (union-set x y)
(let ((root-x (find-set x))
(root-y (find-set y)))
(if (eq? root-x root-y)
root-x
(let ((rank-x (rank root-x))
(rank-y (rank root-y)))
(if (> rank-x rank-y)
(set! (parent root-y) root-x)
(set! (parent root-x) root-y)
(if (= rank-x rank-y)
(set! (parent root-y) root-x)
)
)
)
)
)
)
在上述代码中，`union-set` 函数用于合并元素 `x` 和 `y` 所在的集合。分别查找 `x` 和 `y` 的根节点。如果它们的根节点相同，则表示它们已经属于同一个集合，直接返回根节点。否则，根据它们的秩进行合并操作。如果 `x` 的秩大于 `y` 的秩，则将 `y` 的根节点设置为 `x` 的根节点；否则，将 `x` 的根节点设置为 `y` 的根节点。如果它们的秩相同，则将 `y` 的根节点设置为 `x` 的根节点，并将 `x` 的秩加一。
Scheme语言实现
以下是使用Scheme语言实现的路径压缩和按秩合并的并查集：
scheme
(define (make-set)
(let ((parent (make-vector 1000)))
(do ((i 0 (+ i 1)))
((= i 1000))
(vector-set! parent i i))
parent
))
(define (find-set x parent)
(if (eq? x (vector-ref parent x))
x
(set! (vector-ref parent x) (find-set (vector-ref parent x) parent))
)
)
(define (union-set x y parent)
(let ((root-x (find-set x parent))
(root-y (find-set y parent)))
(if (eq? root-x root-y)
root-x
(let ((rank-x (rank root-x parent))
(rank-y (rank root-y parent)))
(if (> rank-x rank-y)
(set! (vector-ref parent root-y) root-x)
(set! (vector-ref parent root-x) root-y)
(if (= rank-x rank-y)
(set! (vector-ref parent root-y) root-x)
)
)
)
)
)
)
(define (rank x parent)
(let ((count (make-vector 1000)))
(do ((i 0 (+ i 1)))
((= i 1000))
(vector-set! count i 0))
(let ((rank 0))
(do ((x root-x (find-set x parent)))
((eq? x root-x))
(vector-set! count x (vector-set! count x (vector-ref count x) (+ (vector-ref count x) 1)))
(set! rank (max rank (vector-ref count x)))
)
rank
)
)
)
在上述代码中，`make-set` 函数用于创建一个空的并查集。`find-set` 函数用于查找元素 `x` 的根节点。`union-set` 函数用于合并元素 `x` 和 `y` 所在的集合。`rank` 函数用于计算元素 `x` 的秩。
总结
本文介绍了并查集的基本原理、路径压缩和按秩合并的优化方法，并使用Scheme语言实现了路径压缩和按秩合并的并查集。通过路径压缩和按秩合并，可以显著提高并查集的查找和合并操作的时间复杂度，使其在处理大规模数据时更加高效。
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