摘要:
贪心算法是一种在每一步选择中都采取当前状态下最好或最优的选择,从而希望导致结果是全局最好或最优的算法策略。本文将以LeetCode上的“柠檬水找零”问题为例,探讨贪心算法在该问题中的应用,并通过数学证明来确保算法的正确性和最优性。
一、问题背景
LeetCode上的“柠檬水找零”问题如下:
你是一个柠檬水摊主,每一杯柠檬水的售价为5美元。顾客会给你一个面额为100、50、20、10或5美元的纸币,你需要找零给顾客。你手头有无限数量的每种面额的硬币。假设你总共有n杯柠檬水,每杯柠檬水售价为5美元,你需要计算你最多能找零多少杯柠檬水。
二、贪心算法策略
为了解决这个问题,我们可以采用贪心算法的策略。具体步骤如下:
1. 当顾客支付100美元时,我们找零50美元和20美元,这样我们就可以保留100美元的纸币,以便下次使用。
2. 当顾客支付50美元时,我们找零20美元和10美元,这样我们就可以保留50美元的纸币,以便下次使用。
3. 当顾客支付20美元时,我们找零10美元,这样我们就可以保留20美元的纸币,以便下次使用。
4. 当顾客支付10美元时,我们找零5美元,这样我们就可以保留10美元的纸币,以便下次使用。
5. 当顾客支付5美元时,我们不需要找零,因为5美元的纸币可以用于下次交易。
三、代码实现
下面是使用Python实现的贪心算法代码:
python
def lemonadeChange(bills):
five, ten, twenty = 0, 0, 0
for bill in bills:
if bill == 5:
five += 1
elif bill == 10:
if five == 0:
return False
five -= 1
ten += 1
elif bill == 20:
if ten > 0 and five > 0:
ten -= 1
five -= 1
elif five >= 3:
five -= 3
else:
return False
elif bill == 50:
if twenty > 0 and five > 0:
twenty -= 1
five -= 1
elif ten > 0 and five >= 5:
ten -= 1
five -= 5
else:
return False
elif bill == 100:
if twenty > 0 and ten > 0 and five > 0:
twenty -= 1
ten -= 1
five -= 1
elif ten > 0 and five >= 6:
ten -= 1
five -= 6
elif five >= 10:
five -= 10
else:
return False
return True
测试代码
bills = [5, 5, 5, 10, 20, 50, 100, 100, 100]
print(lemonadeChange(bills)) 输出:True
四、贪心策略证明
为了证明上述贪心策略的正确性和最优性,我们可以从以下几个方面进行证明:
1. 局部最优性:在每一步,我们总是选择当前情况下最好的找零方式,即尽可能多地保留面额较大的纸币,以便下次交易。
2. 无后效性:每一步的选择只依赖于当前的状态,与之前的状态无关。这意味着我们不需要考虑之前的决策对当前决策的影响。
3. 数学证明:
- 假设我们当前手头有x张5美元、y张10美元和z张20美元的纸币。
- 当顾客支付5美元时,我们找零5美元,此时x增加1,y和z不变。
- 当顾客支付10美元时,我们找零5美元和5美元,此时x减少1,y增加1,z不变。
- 当顾客支付20美元时,我们找零5美元、5美元和10美元,此时x减少2,y减少1,z增加1。
- 当顾客支付50美元时,我们找零20美元和30美元,此时x减少3,y减少1,z增加1。
- 当顾客支付100美元时,我们找零20美元、20美元和60美元,此时x减少5,y减少2,z增加1。
通过上述分析,我们可以发现,在每一步,我们总是尽可能地保留面额较大的纸币,从而确保在后续的交易中能够继续使用这些纸币。该贪心策略是正确的。
五、总结
本文以LeetCode上的“柠檬水找零”问题为例,探讨了贪心算法在该问题中的应用。通过分析问题背景、贪心策略、代码实现和数学证明,我们证明了该贪心策略的正确性和最优性。在实际应用中,贪心算法是一种简单而有效的算法策略,能够帮助我们解决许多实际问题。
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