二分查找旋转点：寻找旋转排序数组支点
在处理旋转排序数组时，我们经常需要找到数组的旋转点，即数组中第一个大于前一个元素的索引。这个旋转点将数组分为两部分：一部分是递增的，另一部分是递减的。在LeetCode上，这个问题被标记为“寻找旋转排序数组支点”（LeetCode 49）。
旋转排序数组是指一个数组先进行升序排序，然后某个位置之后的所有元素被整体向右移动了若干位。例如，数组 `[0,1,2,4,5,6,7]` 经过一次旋转后可能变为 `[4,5,6,7,0,1,2]`。在这个例子中，旋转点在索引 `4`。
问题分析
给定一个旋转排序数组，我们需要找到旋转点。这个问题可以通过二分查找来解决，因为数组在旋转后仍然保持有序。以下是二分查找旋转点的步骤：
1. 初始化两个指针 `left` 和 `right`，分别指向数组的开始和结束。
2. 当 `left` 小于等于 `right` 时，执行以下步骤：
a. 计算中间索引 `mid`。
b. 如果 `nums[mid]` 大于 `nums[mid + 1]`，则 `mid` 是旋转点。
c. 如果 `nums[mid]` 小于 `nums[mid - 1]`，则 `mid - 1` 是旋转点。
d. 如果 `nums[mid]` 大于 `nums[left]`，则旋转点在 `mid` 的右侧，将 `left` 更新为 `mid + 1`。
e. 否则，旋转点在 `mid` 的左侧，将 `right` 更新为 `mid - 1`。
代码实现
下面是使用Python实现的二分查找旋转点的代码：
python
def find_rotate_index(nums):
left, right = 0, len(nums) - 1
while left <= right:
mid = (left + right) // 2
if mid > 0 and nums[mid] < nums[mid - 1]:
return mid - 1
if mid < len(nums) - 1 and nums[mid] > nums[mid + 1]:
return mid
if nums[mid] > nums[left]:
left = mid + 1
else:
right = mid - 1
return 0
示例
nums = [4, 5, 6, 7, 0, 1, 2]
rotate_index = find_rotate_index(nums)
print("旋转点索引:", rotate_index)
性能分析
这个算法的时间复杂度是 O(log n)，因为它使用了二分查找。空间复杂度是 O(1)，因为它只需要常数级别的额外空间。
实际应用
旋转排序数组支点的查找在许多算法问题中非常有用，例如：
- 寻找数组中第一个大于等于给定值的元素。
- 在旋转排序数组中查找一个元素。
- 在旋转排序数组中查找最小值。
总结
二分查找旋转点是一个经典的问题，它展示了如何利用二分查找算法解决复杂的问题。通过理解数组的旋转特性，我们可以有效地找到旋转点，从而简化后续的算法设计。在LeetCode上，这个问题是一个很好的练习，可以帮助我们提高对二分查找和数组操作的理解。
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