动态规划解决 LeetCode LCS 问题：最长公共子序列
动态规划（Dynamic Programming，简称 DP）是一种在数学、管理科学、计算机科学、经济学和生物信息学等领域中广泛应用的方法。它通过将复杂问题分解为更小的子问题，并存储这些子问题的解，从而避免重复计算，提高算法效率。在 LeetCode 中，动态规划问题非常常见，其中最长公共子序列（Longest Common Subsequence，简称 LCS）问题是一个典型的例子。
LCS 问题是指给定两个序列，找出它们的最长公共子序列。这个问题在生物信息学、文本编辑、语音识别等领域有着广泛的应用。本文将围绕 LCS 问题，使用动态规划方法进行求解，并探讨其实现细节。
LCS 问题分析
假设有两个序列 A 和 B，长度分别为 m 和 n。我们可以定义一个二维数组 dp[m+1][n+1]，其中 dp[i][j] 表示 A 的前 i 个字符和 B 的前 j 个字符的最长公共子序列的长度。
状态转移方程
为了求解 dp[i][j]，我们需要考虑以下几种情况：
1. 如果 A[i-1] 和 B[j-1] 相同，那么 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1。
2. 如果 A[i-1] 和 B[j-1] 不同，那么 dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])。
边界条件
1. 当 i = 0 或 j = 0 时，dp[i][j] = 0，因为空序列与任何序列的最长公共子序列长度都是 0。
动态规划实现
下面是使用 Python 实现的 LCS 问题动态规划解法：
python
def longest_common_subsequence(A, B):
m, n = len(A), len(B)
dp = [[0] (n + 1) for _ in range(m + 1)]
for i in range(1, m + 1):
for j in range(1, n + 1):
if A[i - 1] == B[j - 1]:
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
else:
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])
return dp[m][n]
测试
A = "ABCBDAB"
B = "BDCAB"
print(longest_common_subsequence(A, B)) 输出：4
优化空间复杂度
上述实现中，我们使用了二维数组 dp 来存储中间结果。由于状态转移方程只依赖于上一行的数据，因此我们可以将空间复杂度从 O(mn) 降低到 O(min(m, n))。
python
def longest_common_subsequence_optimized(A, B):
m, n = len(A), len(B)
if m < n:
A, B = B, A
m, n = n, m
dp = [0] (n + 1)
for i in range(1, m + 1):
prev, curr = 0, 0
for j in range(1, n + 1):
prev, curr = curr, max(prev + (A[i - 1] == B[j - 1]), curr)
dp = [prev] + dp
return dp[n]
测试
A = "ABCBDAB"
B = "BDCAB"
print(longest_common_subsequence_optimized(A, B)) 输出：4
总结
本文介绍了 LCS 问题及其动态规划解法。通过分析状态转移方程和边界条件，我们实现了 LCS 问题的动态规划解法，并对其空间复杂度进行了优化。在实际应用中，动态规划方法可以帮助我们解决许多复杂问题，提高算法效率。
扩展阅读
1. 《算法导论》
2. 《动态规划：原理与实例》
3. LeetCode LCS 问题相关题目
希望本文能帮助您更好地理解 LCS 问题及其动态规划解法。如果您有任何疑问或建议，请随时提出。
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