动态规划解决LeetCode股票最佳时机问题（多次交易）
在LeetCode等编程竞赛和面试中，股票最佳时机问题是一个经典的问题。该问题要求我们找出在给定价格数组中，通过多次买卖股票所能获得的最大利润。动态规划（Dynamic Programming，DP）是一种解决这类问题的有效方法。本文将围绕动态规划解决股票最佳时机问题，探讨其原理、实现以及优化。
问题分析
假设我们有一个价格数组`prices`，其中`prices[i]`表示第`i`天的股票价格。我们需要通过多次买卖股票来获得最大利润。每次买卖股票都需要支付一定的交易费用`fee`。
动态规划状态定义
为了使用动态规划解决此问题，我们需要定义一个状态数组`dp`，其中`dp[i][j]`表示在第`i`天，持有`j`股股票时的最大利润。
- `dp[i][0]`：在第`i`天不持有股票时的最大利润。
- `dp[i][1]`：在第`i`天持有股票时的最大利润。
状态转移方程
根据状态定义，我们可以得到以下状态转移方程：
- `dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i] - fee)`：在第`i`天不持有股票，可以选择继续不持有或者卖出股票。
- `dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i])`：在第`i`天持有股票，可以选择继续持有或者买入股票。
初始状态
- `dp[0][0] = 0`：第一天不持有股票，利润为0。
- `dp[0][1] = -prices[0] - fee`：第一天买入股票，利润为负。
代码实现
下面是使用动态规划解决股票最佳时机问题的Python代码实现：
python
def maxProfit(prices, fee):
n = len(prices)
if n < 2:
return 0
初始化状态数组
dp = [[0] 2 for _ in range(n)]
dp[0][0] = 0
dp[0][1] = -prices[0] - fee
遍历状态转移方程
for i in range(1, n):
dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i] - fee)
dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i])
返回最终结果
return dp[-1][0]
示例
prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9]
fee = 2
print(maxProfit(prices, fee)) 输出: 8
优化
上述代码的时间复杂度为O(n)，空间复杂度也为O(n)。我们可以通过一维数组来优化空间复杂度。
python
def maxProfitOptimized(prices, fee):
n = len(prices)
if n < 2:
return 0
初始化状态数组
dp = [0, -prices[0] - fee]
遍历状态转移方程
for i in range(1, n):
dp[0] = max(dp[0], dp[1] + prices[i] - fee)
dp[1] = max(dp[1], dp[0] - prices[i])
返回最终结果
return dp[0]
示例
prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9]
fee = 2
print(maxProfitOptimized(prices, fee)) 输出: 8
总结
本文通过动态规划的方法解决了LeetCode股票最佳时机问题。我们首先分析了问题，定义了状态和状态转移方程，然后实现了代码，并对代码进行了优化。动态规划是一种强大的算法设计思想，在解决许多实际问题中都有广泛应用。
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