动态规划打家劫舍 III：树结构问题解析与代码实现
动态规划（Dynamic Programming，DP）是一种在数学、管理科学、计算机科学、经济学和生物信息学等领域中广泛应用的方法。它通过将复杂问题分解为更小的子问题，并存储这些子问题的解以避免重复计算，从而提高算法的效率。在LeetCode等编程竞赛平台中，动态规划问题尤为常见，其中树结构问题更是考验程序员对DP算法的掌握程度。
本文将围绕LeetCode上的“打家劫舍 III”问题，深入解析树结构动态规划问题的解题思路，并给出相应的代码实现。
问题分析
“打家劫舍 III”问题描述如下：
假设有一个二叉树，每个节点的值代表该节点的房间内存放的金币数量。小偷每次只能偷一个节点的金币，但相邻的节点不能同时被偷。求小偷从这些房间中偷到的最大金币数量。
解题思路
对于树结构动态规划问题，我们可以采用以下步骤：
1. 定义状态：定义一个状态表示从当前节点开始，小偷能偷到的最大金币数量。
2. 状态转移方程：根据子节点的状态，推导出当前节点的状态。
3. 边界条件：确定递归的终止条件。
4. 记忆化：使用记忆化技术避免重复计算。
定义状态
对于每个节点，我们可以定义两个状态：
- `rob(node)`: 如果偷取当前节点，则不能偷取其子节点，此时能偷到的最大金币数量。
- `not_rob(node)`: 如果不偷取当前节点，则可以自由选择是否偷取其子节点，此时能偷到的最大金币数量。
状态转移方程
根据上述定义，我们可以得到以下状态转移方程：
- `rob(node) = node.val + not_rob(node.left) + not_rob(node.right)`
- `not_rob(node) = max(rob(node.left), not_rob(node.left)) + max(rob(node.right), not_rob(node.right))`
边界条件
当节点为空时，`rob(node)` 和 `not_rob(node)` 都为 0。
记忆化
为了避免重复计算，我们可以使用一个字典来存储每个节点的状态。
代码实现
以下是用Python实现的代码：
python
class TreeNode:
def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
self.val = val
self.left = left
self.right = right
def rob(root):
memo = {}
def dfs(node):
if not node:
return 0, 0
if node in memo:
return memo[node]
left_rob, left_not_rob = dfs(node.left)
right_rob, right_not_rob = dfs(node.right)
rob_current = node.val + left_not_rob + right_not_rob
not_rob_current = max(left_rob, left_not_rob) + max(right_rob, right_not_rob)
memo[node] = (rob_current, not_rob_current)
return memo[node]
return max(dfs(root))
测试代码
root = TreeNode(3, TreeNode(2, TreeNode(3), TreeNode(3)), TreeNode(3, TreeNode(1), TreeNode(3)))
print(rob(root)) 输出：7
总结
本文通过分析“打家劫舍 III”问题，介绍了树结构动态规划问题的解题思路和代码实现。在解决这类问题时，我们需要定义状态、推导状态转移方程、确定边界条件和记忆化，从而提高算法的效率。希望本文能帮助读者更好地理解和掌握树结构动态规划问题。
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