动态规划解决LeetCode：动态规划打家劫舍问题
动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是一种在数学、管理科学、计算机科学、经济学和生物信息学等领域中使用的，通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。动态规划的核心思想是将复杂问题分解为若干个相互重叠的子问题，并存储子问题的解，避免重复计算。
在LeetCode上，有一个经典的动态规划问题——打家劫舍。该问题要求我们计算在不触动警报装置的情况下，一个房子到另一个相邻房子之间最多能偷窃多少金额。这是一个典型的动态规划问题，下面我们将详细探讨其解题思路和实现方法。
问题分析
假设有n个房子，每个房子的金额分别为nums[0], nums[1], ..., nums[n-1]。我们需要计算在不触动警报装置的情况下，最多能偷窃多少金额。
状态定义
定义dp[i]为从第i个房子开始，到第n个房子结束，最多能偷窃的金额。
状态转移方程
对于第i个房子，有两种选择：
1. 偷窃第i个房子，那么就不能偷窃第i-1个房子，此时dp[i] = nums[i] + dp[i-2]。
2. 不偷窃第i个房子，那么dp[i] = dp[i-1]。
状态转移方程为：
dp[i] = max(dp[i-1], nums[i] + dp[i-2])
边界条件
1. 当只有1个房子时，dp[0] = nums[0]。
2. 当有2个房子时，dp[1] = max(nums[0], nums[1])。
代码实现
下面是使用动态规划解决打家劫舍问题的Python代码实现：
python
def rob(nums):
n = len(nums)
if n == 0:
return 0
if n == 1:
return nums[0]
if n == 2:
return max(nums[0], nums[1])
dp = [0] n
dp[0] = nums[0]
dp[1] = max(nums[0], nums[1])
for i in range(2, n):
dp[i] = max(dp[i-1], nums[i] + dp[i-2])
return dp[-1]
优化空间复杂度
上述代码的空间复杂度为O(n)，我们可以进一步优化空间复杂度。
由于状态转移方程只依赖于前两个状态，我们可以使用两个变量来存储前两个状态，从而将空间复杂度降低到O(1)。
python
def rob(nums):
n = len(nums)
if n == 0:
return 0
if n == 1:
return nums[0]
if n == 2:
return max(nums[0], nums[1])
prev2, prev1 = nums[0], max(nums[0], nums[1])
for i in range(2, n):
curr = max(prev1, nums[i] + prev2)
prev2, prev1 = prev1, curr
return prev1
总结
本文介绍了动态规划解决LeetCode：动态规划打家劫舍问题的解题思路和实现方法。通过分析问题，定义状态，建立状态转移方程，我们得到了一个高效的解决方案。我们还对空间复杂度进行了优化，使代码更加高效。
动态规划是一种强大的算法思想，在解决许多实际问题中都有广泛的应用。通过学习动态规划，我们可以更好地理解和解决实际问题。
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