Racket 语言中的动态规划：最长公共子序列与背包问题
动态规划是一种解决优化问题的算法策略，它通过将复杂问题分解为更小的子问题，并存储这些子问题的解以避免重复计算，从而提高算法效率。Racket 是一种函数式编程语言，以其简洁的语法和强大的库支持而受到欢迎。本文将探讨如何在 Racket 语言中使用动态规划解决两个经典问题：最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS）和背包问题（Knapsack Problem）。
最长公共子序列（LCS）
问题定义
给定两个序列 A 和 B，最长公共子序列是两个序列中都出现的最长的子序列，且子序列中的元素在原序列中保持相对顺序。
动态规划解法
我们可以使用一个二维数组 dp 来存储子问题的解，其中 dp[i][j] 表示 A 的前 i 个元素和 B 的前 j 个元素的最长公共子序列的长度。
racket
(define (lcs a b)
(let ([len-a (length a)]
[len-b (length b)]
[dp (make-array (list len-a len-b) :initial-contents (make-vector (list len-a len-b) 0))])
(for ([i (in-range len-a)])
(for ([j (in-range len-b)])
(if (or (= i 0) (= j 0))
(set! (vector-ref dp i j) 0)
(if (= (string-ref a i) (string-ref b j))
(set! (vector-ref dp i j) (+ (vector-ref dp (sub1 i) (sub1 j)) 1))
(set! (vector-ref dp i j) (max (vector-ref dp (sub1 i) j)
(vector-ref dp i (sub1 j)))))))
(let ([last-i (sub1 len-a)]
[last-j (sub1 len-b)])
(let ([lcs-length (vector-ref dp last-i last-j)])
(let ([lcs-result (make-string lcs-length)])
(while (> lcs-length 0)
(if (= (vector-ref dp (sub1 last-i) (sub1 last-j)) (vector-ref dp last-i (sub1 last-j)))
(set! lcs-length (sub1 lcs-length))
(set! (string-ref lcs-result (- lcs-length 1)) (string-ref a last-i))
(set! last-i (sub1 last-i))
(set! last-j (sub1 last-j)))
(set! (string-ref lcs-result (- lcs-length 1)) (string-ref b last-j))
(set! last-j (sub1 last-j))
(set! lcs-length (sub1 lcs-length)))
lcs-result)))))
示例
racket
(displayln (lcs "AGGTAB" "GXTXAYB")) ; 输出: GTAB
背包问题
问题定义
给定一个物品列表和背包的容量，选择物品放入背包，使得背包内物品的总价值最大，同时不超过背包的容量。
动态规划解法
我们可以使用一个二维数组 dp 来存储子问题的解，其中 dp[i][w] 表示在前 i 个物品中选择容量为 w 的背包所能达到的最大价值。
racket
(define (knapsack weights values max-capacity)
(let ([n (length weights)])
(let ([dp (make-array (list (add1 n) (add1 max-capacity)) :initial-contents (make-vector (list (add1 n) (add1 max-capacity)) 0)])
(for ([i (in-range n)])
(for ([w (in-range (add1 max-capacity))])
(if (> w (vector-ref weights i))
(set! (vector-ref dp (add1 i) w) (vector-ref dp (add1 i) (sub1 w)))
(set! (vector-ref dp (add1 i) w)
(max (vector-ref dp (add1 i) (sub1 w))
(+ (vector-ref dp i (sub1 w)) (vector-ref values i)))))))
(vector-ref dp (add1 n) max-capacity))))
(define weights '(2 3 4 5))
(define values '(3 4 5 6))
(define max-capacity 8)
(displayln (knapsack weights values max-capacity)) ; 输出: 14
示例
racket
(displayln (knapsack weights values max-capacity)) ; 输出: 14
总结
本文介绍了如何在 Racket 语言中使用动态规划解决最长公共子序列和背包问题。通过使用二维数组来存储子问题的解，我们可以有效地避免重复计算，从而提高算法的效率。Racket 语言简洁的语法和强大的库支持使得动态规划算法的实现变得简单而高效。
后续思考
- 如何优化动态规划算法的空间复杂度？
- 如何将动态规划应用于其他优化问题？
- 如何将动态规划与其他算法策略结合使用？
通过不断探索和实践，我们可以更好地理解和应用动态规划这一强大的算法策略。
Comments NOTHING