Fortran 语言线性方程组求解实战
线性方程组在科学计算和工程应用中非常常见，Fortran 语言作为一种历史悠久的科学计算语言，在求解线性方程组方面有着丰富的库函数和高效的方法。本文将围绕Fortran 语言线性方程组求解这一主题，详细介绍几种常用的求解方法，并通过实际案例进行实战演练。
1.
线性方程组是一类数学问题，其形式可以表示为：
[ Ax = b ]
其中，( A ) 是一个 ( n times n ) 的系数矩阵，( x ) 是一个 ( n ) 维的未知向量，( b ) 是一个 ( n ) 维的已知向量。求解线性方程组的目标是找到 ( x ) 的值，使得上述等式成立。
Fortran 语言提供了多种求解线性方程组的方法，包括直接法、迭代法和混合法等。本文将重点介绍直接法中的高斯消元法和LU分解法，以及迭代法中的雅可比迭代法和赛德尔迭代法。
2. 高斯消元法
高斯消元法是一种经典的直接求解线性方程组的方法。其基本思想是通过一系列行变换，将系数矩阵 ( A ) 转换为上三角矩阵，然后通过回代求解未知向量 ( x )。
以下是一个使用Fortran 语言实现的高斯消元法的示例代码：
fortran
program gauss_elimination
implicit none
integer, parameter :: n = 3
double precision :: a(n,n), b(n), x(n)
integer :: i, j, k
! 初始化系数矩阵和常数项
a = reshape((/1,2,3,4,5,6,7,8,9/), (/n,n/))
b = (/1,2,3/)
! 高斯消元
do i = 1, n-1
do j = i+1, n
a(j,:) = a(j,:) - a(i,:)a(j,i)/a(i,i)
end do
end do
! 回代求解
x(n) = b(n)/a(n,n)
do i = n-1, 1, -1
x(i) = (b(i) - sum(a(i,:)x(i+1:n)))/a(i,i)
end do
! 输出结果
print , "Solution:"
print , x
end program gauss_elimination
3. LU分解法
LU分解法是一种将系数矩阵 ( A ) 分解为下三角矩阵 ( L ) 和上三角矩阵 ( U ) 的方法。然后，通过求解两个线性方程组 ( Ly = b ) 和 ( Ux = y ) 来求解原方程组 ( Ax = b )。
以下是一个使用Fortran 语言实现的LU分解法的示例代码：
fortran
program lu_decomposition
implicit none
integer, parameter :: n = 3
double precision :: a(n,n), b(n), l(n,n), u(n,n), x(n)
integer :: i, j, k
! 初始化系数矩阵和常数项
a = reshape((/1,2,3,4,5,6,7,8,9/), (/n,n/))
b = (/1,2,3/)
! LU分解
do i = 1, n
do j = i, n
l(i,j) = a(i,j)
u(i,j) = a(i,j)
end do
end do
do i = 1, n-1
do j = i+1, n
l(j,i) = (a(j,i) - sum(l(j,1:i-1)a(i,1:i-1)))/a(i,i)
u(i,j) = (a(i,j) - sum(l(i,1:i-1)a(j,1:i-1)))/a(i,i)
end do
end do
! 求解Ly = b
do i = 1, n
x(i) = (b(i) - sum(l(i,1:i-1)x(1:i-1)))/l(i,i)
end do
! 求解Ux = y
do i = n, 1, -1
x(i) = (x(i) - sum(u(i,1:i-1)x(1:i-1)))/u(i,i)
end do
! 输出结果
print , "Solution:"
print , x
end program lu_decomposition
4. 雅可比迭代法和赛德尔迭代法
雅可比迭代法和赛德尔迭代法是两种常用的迭代法，用于求解大型稀疏线性方程组。这两种方法的基本思想是通过迭代逼近方程组的解。
以下是一个使用Fortran 语言实现的雅可比迭代法的示例代码：
fortran
program jacobi_method
implicit none
integer, parameter :: n = 3
double precision :: a(n,n), b(n), x(n), x_new(n)
double precision :: tolerance = 1e-10
integer :: i, j, iter
! 初始化系数矩阵和常数项
a = reshape((/4,1,1,1,4,1,1,1,4/), (/n,n/))
b = (/10,10,10/)
x = (/0.0,0.0,0.0/)
! 迭代求解
iter = 0
do while (.true.)
iter = iter + 1
x_new = (/ (b(i) - sum(a(i,:)x(:)-a(i,i)x(i)))/a(i,i), i=1,n /)
if (maxval(abs(x_new - x)) < tolerance) exit
x = x_new
end do
! 输出结果
print , "Solution:"
print , x
print , "Iterations:", iter
end program jacobi_method
赛德尔迭代法与雅可比迭代法类似，但每次迭代时都会使用最新的 ( x ) 值来计算 ( x_{new} )。
5. 总结
本文介绍了Fortran 语言中几种常用的线性方程组求解方法，包括高斯消元法、LU分解法、雅可比迭代法和赛德尔迭代法。通过实际案例的演示，读者可以了解到这些方法的基本原理和实现方法。在实际应用中，选择合适的求解方法需要根据问题的规模、稀疏性和计算资源等因素综合考虑。
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