AVL 树删除节点【1】后的平衡调整：Scheme【2】 语言实现
AVL树【3】是一种自平衡的二叉搜索树【4】，它通过在插入和删除节点后自动调整树的高度来保持平衡。这种平衡保证了AVL树的操作（如搜索、插入和删除）的时间复杂度【5】为O(log n)。本文将使用Scheme语言实现AVL树的删除操作，并重点介绍删除节点后如何进行平衡调整。
Scheme 语言简介
Scheme是一种函数式编程【6】语言，它起源于Lisp。Scheme以其简洁、灵活和强大的宏系统【7】而闻名。在Scheme中，所有数据都是通过列表来表示的，这使得它非常适合于实现树结构。
AVL 树的基本概念
AVL树是一种特殊的二叉搜索树，其中每个节点的左右子树的高度差不超过1。如果这个条件被破坏，树会通过旋转操作【8】来恢复平衡。
节点结构【9】
在Scheme中，我们可以定义一个AVL树的节点结构如下：
scheme
(define-struct avl-node
(value
(left 'nil)
(right 'nil)
(height 1)))
旋转操作
AVL树中有四种旋转操作：左旋、右旋、左右旋和右左旋。以下是这些旋转操作的Scheme实现：
scheme
(define (rotate-left node)
(let ((new-root (avl-node-left node)))
(set! (avl-node-left node) (avl-node-right new-root))
(set! (avl-node-right new-root) node)
(set! (avl-node-height node) (+ 1 (max (avl-node-height (avl-node-left node)) (avl-node-height (avl-node-right node)))))
(set! (avl-node-height new-root) (+ 1 (max (avl-node-height (avl-node-left new-root)) (avl-node-height (avl-node-right new-root)))))
new-root))
(define (rotate-right node)
(let ((new-root (avl-node-right node)))
(set! (avl-node-right node) (avl-node-left new-root))
(set! (avl-node-left new-root) node)
(set! (avl-node-height node) (+ 1 (max (avl-node-height (avl-node-left node)) (avl-node-height (avl-node-right node)))))
(set! (avl-node-height new-root) (+ 1 (max (avl-node-height (avl-node-left new-root)) (avl-node-height (avl-node-right new-root)))))
new-root))
(define (rotate-left-right node)
(rotate-left (rotate-right node)))
(define (rotate-right-left node)
(rotate-right (rotate-left node)))
删除节点后的平衡调整
当从AVL树中删除一个节点后，可能会破坏树的平衡。为了恢复平衡，我们需要检查每个节点，并根据需要执行旋转操作。
获取平衡因子【10】
平衡因子是左子树高度与右子树高度之差。如果平衡因子的绝对值大于1，则节点不平衡。
scheme
(define (get-balance-factor node)
(- (avl-node-height (avl-node-left node))
(avl-node-height (avl-node-right node))))
平衡调整
删除节点后，我们需要从被删除节点所在的路径向上遍历【11】，检查每个节点的平衡因子，并根据需要执行旋转操作。
scheme
(define (balance-node node)
(let ((balance (get-balance-factor node)))
(cond
(( (get-balance-factor (avl-node-left (avl-node-left node))) 0)
(rotate-left-right node)
(rotate-left node)))
((> balance 1)
(if (< (get-balance-factor (avl-node-right (avl-node-right node))) 0)
(rotate-right-left node)
(rotate-right node)))
(else
node))))
删除节点
删除节点是一个复杂的过程，需要考虑多种情况。以下是删除节点的Scheme实现：
scheme
(define (delete-node tree value)
(cond
((null? tree) 'nil)
(( value (avl-node-value tree))
(set! tree (delete-node (avl-node-right tree) value))
(set! (avl-node-height tree) (+ 1 (max (avl-node-height (avl-node-left tree)) (avl-node-height (avl-node-right tree)))))
(balance-node tree))
(else
(cond
((null? (avl-node-left tree))
(set! tree (avl-node-right tree)))
((null? (avl-node-right tree))
(set! tree (avl-node-left tree)))
(else
(let ((min-node (find-min (avl-node-right tree))))
(set! (avl-node-value tree) (avl-node-value min-node))
(set! (avl-node-right tree) (delete-node (avl-node-right tree) (avl-node-value min-node)))))))
(set! (avl-node-height tree) (+ 1 (max (avl-node-height (avl-node-left tree)) (avl-node-height (avl-node-right tree)))))
(balance-node tree))))
总结
本文介绍了使用Scheme语言实现AVL树的删除操作，并重点讲解了删除节点后的平衡调整。通过旋转操作，AVL树能够保持其平衡，从而保证操作的时间复杂度为O(log n)。这种自平衡的特性使得AVL树在需要频繁插入和删除操作的场景中非常有用。
由于篇幅限制，本文未能详细展开每个函数的实现细节。在实际应用中，可以进一步优化和扩展AVL树的功能，例如添加遍历、查找【12】和统计节点数量【13】的操作等。
参考文献
1. Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms. MIT Press, 2009.
2. Robert Sedgewick and Kevin Wayne. Algorithms. Addison-Wesley, 2011.
Comments NOTHING