并查集【1】按秩合并【2】优化合并操作效率实战：基于Scheme语言【4】
并查集（Union-Find）是一种数据结构，用于处理一些不交集的合并及查询问题。它支持两种操作：查找【5】（Find）和合并（Union）。在处理动态集合的合并问题时，并查集因其高效的合并和查询操作而被广泛应用。本文将围绕并查集的按秩合并优化合并操作效率这一主题，使用Scheme语言进行实战。
Scheme语言简介
Scheme是一种函数式编程语言，属于Lisp语言家族。它以其简洁、灵活和强大的表达能力而著称。在Scheme中，一切皆表达式，函数是一等公民，这使得它在处理数据结构和算法时具有独特的优势。
并查集的基本操作
并查集的基本操作包括：
1. 初始化【6】：创建一个并查集实例，通常使用一个数组来表示。
2. 查找：确定元素所属的集合。
3. 合并：将两个集合合并为一个集合。
按秩合并优化
按秩合并（Union by Rank）是一种优化合并操作的策略。其基本思想是，在合并两个集合时，将秩较小的集合的根节点【7】指向秩较大的集合的根节点。这样，可以减少树的高度【8】，从而提高查找和合并操作的效率。
代码实现
以下是一个使用Scheme语言实现的按秩合并优化并查集的示例：
scheme
(define (make-set)
(let ((root (make-vector 10000 f)))
(lambda (x)
(vector-set! root x x)
root)))
(define (find-set x root)
(if (eq? (vector-ref root x) x)
x
(let ((parent (find-set (vector-ref root x) root)))
(vector-set! root x parent)
parent)))
(define (union-set x y root)
(let ((root-x (find-set x root))
(root-y (find-set y root)))
(if (eq? root-x root-y)
root
(let ((rank-x (rank root-x root))
(rank-y (rank root-y root)))
(if (> rank-x rank-y)
(vector-set! root root-y root-x)
(vector-set! root root-x root-y)
(if (= rank-x rank-y)
(vector-set! root root-x (vector-set! root root-y (add1 rank-y)))))))))
(define (rank x root)
(let ((parent (vector-ref root x)))
(if (eq? parent x)
0
(+ 1 (rank parent root)))))
代码解析
1. `make-set` 函数用于创建一个并查集实例，返回一个闭包【9】，该闭包包含一个向量【10】，用于存储每个元素的根节点。
2. `find-set` 函数用于查找元素所属的集合。如果元素是根节点，则返回该元素；否则，递归查找其父节点的根节点，并在返回过程中将父节点更新为根节点，以压缩树【11】的高度。
3. `union-set` 函数用于合并【3】两个集合。分别查找两个集合的根节点；如果它们属于同一集合，则返回当前并查集实例；否则，根据两个集合的秩合并它们。如果两个集合的秩相等，则将其中一个集合的秩加1。
4. `rank` 函数用于获取集合的秩，即树的高度。
实战案例【12】
以下是一个使用按秩合并优化并查集的实战案例：
scheme
(define s1 (make-set))
(define s2 (make-set))
(define x1 (find-set 1 s1))
(define x2 (find-set 2 s1))
(define x3 (find-set 3 s1))
(define y1 (find-set 1 s2))
(define y2 (find-set 2 s2))
(define y3 (find-set 3 s2))
(define s3 (union-set x1 y1 s1))
(define s4 (union-set x2 y2 s3))
(define s5 (union-set x3 y3 s4))
(define x4 (find-set 1 s5))
(define x5 (find-set 2 s5))
(define x6 (find-set 3 s5))
(define x7 (find-set 1 s5))
(define x8 (find-set 2 s5))
(define x9 (find-set 3 s5))
(displayln (eq? x4 x7)) ; 输出：t
(displayln (eq? x5 x8)) ; 输出：t
(displayln (eq? x6 x9)) ; 输出：t
在这个案例中，我们创建了两个并查集实例`s1`和`s2`，并分别将元素1、2、3和元素1、2、3添加到这两个实例中。然后，我们使用按秩合并优化将这两个实例合并为`s5`。我们验证了元素1、2、3在合并后的并查集`s5`中属于同一集合。
总结
本文介绍了并查集按秩合并优化合并操作效率的实战，使用Scheme语言实现了按秩合并优化并查集。通过按秩合并优化，我们可以提高并查集的查找和合并操作的效率，使其在处理动态集合的合并问题时更加高效。在实际应用中，按秩合并优化是一种常用的优化策略，可以显著提高并查集的性能。
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